Geometria euclidiana
Si considerem la geometria euclidiana, distingim clarament que es refereix a les lleis que regulen les posicions dels cossos rígids. Resulta per a l’enginyós pensament de remuntar totes les relacions relatives als cossos i les seves posicions relatives al concepte molt simple de “distància” (Strecke). La distància indica un cos rígid sobre el qual s’han especificat dos punts (marques) materials. El concepte d’igualtat de distàncies (i angles) fa referència a experiments amb coincidències; els mateixos comentaris s'apliquen als teoremes sobre congruència. Ara, la geometria euclidiana, de la forma que ens ha estat enviada d'Euclides, utilitza els conceptes fonamentals "recta" i "pla" que no semblen correspondre, o en cap cas, ni tan directament, amb experiències. relativa a la posició dels cossos rígids. Sobre això cal remarcar que el concepte de la recta pot reduir-se al de la distància.1 A més, els geògrafs es preocupaven menys de mostrar la relació dels seus conceptes fonamentals per experimentar que de deduir lògicament les proposicions geomètriques d’uns pocs axiomes enunciats al principi.
Esborrem breument com potser es pot obtenir la base de la geometria euclidiana a partir del concepte de distància.
Partim de la igualtat de distàncies (axioma de la igualtat de distàncies). Suposem que de dues distàncies desiguals una sempre és més gran que l’altra. Els mateixos axiomes són fer servir per la desigualtat de distàncies que per a la desigualtat de números.
Tres distàncies AB 1, BC 1, CA 1 poden, si es selecciona adequadament CA 1, tenir les seves marques BB 1, CC 1, AA 1 superposades les unes a les altres de tal manera que resulti un triangle ABC. La distància CA 1 té un límit superior per al qual aquesta construcció encara és possible. Els punts A, (BB ') i C es troben en una "recta" (definició). Això condueix als conceptes: produir una distància per una quantitat igual a si mateixa; dividint una distància en parts iguals; expressant una distància en nombre d'un número mitjançant una barra de mesura (definició de l'espai-interval entre dos punts).
Quan el concepte de l’interval entre dos punts o la longitud d’una distància s’ha obtingut d’aquesta manera, només necessitem l’axioma següent (teorema de Pitàgores) per arribar analíticament a la geometria euclidiana.
A cada punt de l’espai (cos de referència) es poden assignar tres números (coordenades) x, y, z –i a l’inrevés– de manera que per a cada parell de punts A (x 1, y 1, z 1) i B (x 2, y 2, z 2) el teorema manté:
nombre de mesura AB = sqroot {(x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 }.
Tots els conceptes i proposicions posteriors de la geometria euclidiana es poden construir lògicament sobre aquesta base, en particular també les proposicions sobre la recta i el pla.
Aquestes observacions no són, per descomptat, destinades a substituir la construcció estrictament axiomàtica de la geometria euclidiana. Només volem indicar versemblantment com es poden remuntar totes les concepcions de geometria a la de la distància. Podríem igualment haver epitomitzat tota la base de la geometria euclidiana en l'últim teorema anterior. La relació amb els fonaments de l'experiència seria proporcionada mitjançant un teorema complementari.
La coordinació pot i ha de triar-se de manera que dos parells de punts separats per intervals iguals, segons es calcula amb l'ajuda del teorema de Pitàgores, es poden fer coincidir amb una i la mateixa distància adequada (sobre un sòlid).
Els conceptes i proposicions de la geometria euclidiana es poden derivar de la proposició de Pitàgores sense la introducció de cossos rígids; però aquests conceptes i proposicions no tindrien llavors contingut que es pugui provar. No són proposicions “veritables”, sinó només proposicions lògiques correctes de contingut purament formal.
