Diofàntic, anomenat Diofàntic d'Alexandria, (florit cap al 250), matemàtic grec, famós pel seu treball en l'àlgebra.
teoria de nombres: Diofàntic
D’entre els matemàtics grecs posteriors, cal destacar especialment Diofàntic d’Alexandria (florit c. 250), autor
El poc que se sap de la vida de Diofàntic és circumstancial. De la denominació “d’Alexandria” sembla que va treballar al principal centre científic de l’antic món grec; i com que no s’esmenta abans del segle IV, sembla probable que va florir durant el segle III. Un epigrama aritmètic de l'Antologia Graeca de l'antiguitat tardana, va suposar retratar algunes fites de la seva vida (matrimoni als 33 anys, naixement del seu fill als 38 anys, mort del seu fill quatre anys abans que el propi als 84 anys), pot ser que es tracti. Ens han arribat dues obres sota el seu nom, totes dues incompletes. El primer és un petit fragment en números poligonals (un nombre és poligonal si es pot disposar aquest mateix nombre de punts en forma de polígon regular). El segon, un gran i extremadament influent tracte sobre el qual es reposa tota l’antiga i moderna fama de Diofàntic, és la seva Arithmetica. La seva importància històrica és doble: és la primera obra coneguda que va utilitzar l'àlgebra d'estil modern i va inspirar el renaixement de la teoria de nombres.
L’aritmètica comença amb una introducció adreçada a Dionís - possiblement sant Dionís d’Alexandria. Després d’algunes generalitats sobre els nombres, Diofàntic explica el seu simbolisme: utilitza símbols per a allò desconegut (que corresponen a la nostra x) i els seus poders, positius o negatius, així com per a algunes operacions aritmètiques; la majoria d’aquests símbols són abreviatures d’escriptura clarament. Es tracta de la primera i única aparició de simbolisme algebraic abans del segle XV. Després d'ensenyar la multiplicació de les potències del desconegut, Diofàntic explica la multiplicació de termes positius i negatius i, a continuació, com es pot reduir l'equació a un amb només termes positius (la forma estàndard preferida en l'antiguitat). Amb aquests preliminars fora del camí, Diofàntic continua als problemes. De fet, l'Armetmètica és essencialment una col·lecció de problemes amb les solucions, uns 260 a la part encara existents.
La introducció també estableix que l’obra està dividida en 13 llibres. Sis d’aquests llibres van ser coneguts a Europa a finals del segle XV, transmesos en grec per estudiosos bizantins i numerats del I al VI; altres quatre llibres van ser descoberts el 1968 en una traducció àrab del segle IX de Qusṭā ibn Lūqā. Tanmateix, el text àrab no té simbolisme matemàtic i sembla que es basa en un comentari grec posterior, potser el d’Hipatia (c. 370-415), que va diluir l’exposició de Diofàntic. Ara sabem que cal modificar la numeració dels llibres grecs: Arithmetica consisteix en els llibres I a III en grec, els llibres IV a VII en àrab i, presumiblement, els llibres VIII a X en grec (els antics llibres grecs IV a VI). Una numeració addicional és poc probable; és bastant segur que els bizantins només coneixien els sis llibres que van transmetre i els àrabs no més que Llibres I a VII en la versió comentada.
Els problemes del Llibre I no són característics, essent majoritàriament problemes simples que s'utilitzen per il·lustrar els calculs algebraics. Els trets distintius dels problemes de Diofàntic apareixen als llibres posteriors: són indeterminats (amb més d'una solució), són de segon grau o són reduïbles al segon grau (la potència més alta en termes variables és 2, és a dir, x 2), i finalitzi amb la determinació d’un valor racional positiu per al desconegut que convertirà en una expressió algebraica determinada un quadrat numèric o de vegades un cub. (Al llarg del seu llibre Diofàntic utilitza el número per referir-se al que ara s’anomenen nombres racionals positius; així, un nombre quadrat és el quadrat d’algun nombre racional positiu.) Els llibres II i III també ensenyen mètodes generals. En tres problemes del Llibre II s’explica com representar: (1) qualsevol nombre quadrat determinat com una suma dels quadrats de dos nombres racionals; (2) qualsevol nombre no quadrat determinat, que és la suma de dos quadrats coneguts, com a suma de dos altres quadrats; i (3) qualsevol nombre racional donat com a diferència de dos quadrats. Si bé el primer i el tercer problema es diuen generalment, el coneixement suposat d’una solució del segon problema suggereix que no tots els números racionals són la suma de dos quadrats. Diofàntic després dóna la condició per a un nombre enter: el nombre indicat no ha de contenir cap factor primari de la forma 4n + 3 elevat a una potència rara, on n sigui un nombre enter no negatiu. Aquests exemples van motivar el renaixement de la teoria de nombres. Tot i que Diofhantus està generalment satisfet d’obtenir una solució a un problema, de vegades esmenta problemes que hi ha un nombre infinit de solucions.
Als llibres IV a VII Diofàntic estén mètodes bàsics com els esmentats anteriorment a problemes de graus superiors que poden reduir-se a una equació binòmica de primer o segon grau. Els paràmetres d’aquests llibres afirmen que el seu propòsit és proporcionar al lector “experiència i habilitat”. Si bé aquest recent descobriment no augmenta el coneixement de les matemàtiques de Diofàntic, sí que altera la valoració de la seva capacitat pedagògica. Els llibres VIII i IX (presumiblement els llibres IV i V grecs) resolen problemes més difícils, fins i tot si els mètodes bàsics continuen sent els mateixos. Per exemple, un problema consisteix en descompondre un determinat nombre enter en la suma de dos quadrats arbitràriament propers els uns dels altres. Un problema similar consisteix en descomposar un determinat nombre enter en la suma de tres quadrats; en ell, Diophantus exclou el cas impossible dels nombres enters de la forma 8n + 7 (de nou, n és un nombre enter no negatiu). El llibre X (presumiblement el llibre VI grec) tracta de triangles en angle recte amb costats racionals i subjectes a diverses condicions posteriors.
El contingut dels tres llibres que falten de l'Armetmètica es pot suposar a partir de la introducció, on, després de dir que la reducció d'un problema hauria de "si és possible" concloure amb una equació binomial, Diofàntic afegeix que "més endavant" tractarà el cas. d'una equació trinomial: una promesa que no es compleix en la part existent.
Tot i que tenia a la seva disposició eines algebraiques limitades, Diofàntic va aconseguir resoldre una gran varietat de problemes, i l'aritmètica va inspirar matemàtics àrabs com al-Karajī (c. 980-1030) per aplicar els seus mètodes. L'extensió més famosa de l'obra de Diofàntic fou de Pierre de Fermat (1601-65), el fundador de la teoria moderna dels nombres. En els marges de la seva còpia d’Armetmètica, Fermat va escriure diverses observacions, proposant noves solucions, correccions i generalitzacions dels mètodes de Diofàntic, així com algunes conjectures com l’últim teorema de Fermat, que va ocupar matemàtics per a les generacions properes. Les equacions indeterminades restringides a solucions integrals han estat conegudes, tot i que de forma inapropiada, com les equacions diofàntiques.
