Hipòtesi contínua, afirmació de la teoria de conjunts que el conjunt de nombres reals (el continu) és en un sentit tan reduït com pot ser. El 1873, el matemàtic alemany Georg Cantor va demostrar que el continu és incomptable, és a dir, els nombres reals són un infinit més gran que els comptadors, un resultat clau a partir de la teoria de conjunts com a matèria matemàtica. A més, Cantor va desenvolupar una forma de classificar la mida de conjunts infinits segons el nombre dels seus elements o la seva cardinalitat. (Vegeu teoria de conjunts: Cardinalitat i nombres transfinits.) En aquests termes, la hipòtesi del continu es pot afirmar de la manera següent: La cardinalitat del continu és el menor nombre cardinal incontable.
teoria de conjunts: Cardinalitat i nombres transfinits
una conjectura coneguda com a hipòtesi del continu.
En la notació de Cantor, la hipòtesi del continu es pot afirmar per l’equació simple 2 ℵ 0 = ℵ 1, on ℵ 0 és el nombre cardinal d’un conjunt comptable infinit (com el conjunt de nombres naturals) i els nombres cardinals de major “ conjunts ben ordenables ”són ℵ 1, ℵ 2,
, ℵ α,
, indexat pels nombres ordinals. La cardinalitat del continu es pot mostrar igual a 2 ℵ 0; així, la hipòtesi del contínu descarta l’existència d’un conjunt de mida intermèdia entre els nombres naturals i el continu.
Una afirmació més forta és la hipòtesi del continu generalitzat (GCH): 2 ℵ α = ℵ α + 1 per a cada nombre ordinal α. El matemàtic polonès Wacław Sierpiński va demostrar que amb GCH es pot derivar l’axioma d’elecció.
Igual que amb l’axioma d’elecció, el matemàtic nord-americà d’origen austríac Kurt Gödel va demostrar el 1939 que, si els altres axiomes estàndard de Zermelo-Fraenkel (ZF; vegeu la
taula) són coherents, per tant no refuten la hipòtesi del continu ni tan sols GCH. És a dir, el resultat d’afegir GCH als altres axiomes continua sent coherent. Al 1963, el matemàtic nord-americà Paul Cohen va completar el quadre mostrant, de nou, sota el supòsit que ZF fos coherent, que ZF no proporciona una prova de la hipòtesi del continu.
Atès que ZF no demostra ni contesta la hipòtesi del continu, queda la qüestió de si acceptar la hipòtesi contínua basada en un concepte informal de què són els conjunts. La resposta general a la comunitat matemàtica ha estat negativa: la hipòtesi contínua és una afirmació limitant en un context on no es coneix cap raó per imposar un límit. En la teoria de conjunts, l'operació de potència conjunt assigna a cada conjunt de cardinalitat ℵ alpha seu conjunt de tots els subconjunts, que té cardinalitat 2 ℵ alpha. Sembla que no hi ha cap raó per imposar un límit a la varietat de subconjunts que podria tenir un conjunt infinit.
