Lògica i metal·lògica
En un sentit, la lògica s'ha d'identificar amb el càlcul predicat del primer ordre, el càlcul en el qual les variables es limiten a individus d'un domini fix, tot i que pot incloure també la lògica de la identitat, simbolitzada "=," que pren les propietats ordinàries de la identitat com a part de la lògica. En aquest sentit, Gottlob Frege va aconseguir un càlcul formal de la lògica ja des del 1879. De vegades, la lògica es interpreta, però inclou també càlculs predicats d’ordre superior, que admeten variables de tipus superior, com ara els que varien sobre predicats (o classes i relacions).) etcètera. Però llavors és un petit pas per a la inclusió de la teoria de conjunts i, de fet, la teoria de conjunts axiomàtica sovint es considera una part de la lògica. Als efectes d’aquest article, però, és més apropiat limitar la discussió a la lògica en el primer sentit.
És difícil separar els descobriments significatius de la lògica dels metàl·lics, perquè tots els teoremes d'interès per als lògics són sobre la lògica i per tant pertanyen a la metal·lògica. Si p és un teorema matemàtic, en particular, un sobre lògica, i P és la conjunció dels axiomes matemàtics emprats per a provar p, cada p pot convertir-se en un teorema, "no-P o p", en lògica. Tanmateix, les matemàtiques no es fan realitzant explícitament tots els passos tal i com es formalitza en la lògica; la selecció i la comprensió intuïtiva dels axiomes és important tant per a les matemàtiques com per a les metamatemàtiques. Les derivacions reals en la lògica, com les realitzades justament abans de la Primera Guerra Mundial per Alfred North Whitehead i Bertrand Russell, són poc interessants per als lògics. Per tant, pot semblar redundant introduir el terme metal·lògic. Tanmateix, en la classificació actual, la metal·logica es considera que tracta no només les troballes sobre càlculs lògics, sinó també els estudis de sistemes formals i llenguatges formals en general.
Un sistema formal ordinari difereix d’un càlcul lògic pel fet que el sistema sol tenir una interpretació prevista, mentre que el càlcul lògic deixa deliberadament les possibles interpretacions obertes. Així, es parla, per exemple, de la veritat o la falsedat de frases en un sistema formal, però pel que fa a un càlcul lògic es parla de validesa (és a dir, de ser veritat en totes les interpretacions o de tots els mons possibles) i de satisfacció (o tenir un model (és a dir, ser cert en alguna interpretació particular). Per tant, la integritat d’un càlcul lògic té un significat ben diferent al d’un sistema formal: un càlcul lògic permet moltes oracions tals que ni l’oració ni la seva negació són un teorema perquè és cert en algunes interpretacions i fals en d’altres, i només requereix que cada frase vàlida sigui un teorema.
