Aritmètica, branca de les matemàtiques en què s’estudien i s’utilitzen els números, les relacions entre nombres i les observacions sobre números per resoldre problemes.
L’aritmètica (terme derivat de la paraula grega arithmos, “nombre”) es refereix generalment als aspectes elementals de la teoria dels nombres, arts de la mensuració (mesurament) i la computació numèrica (és a dir, els processos d’addició, resta, multiplicació, divisió, augment de poders i extracció d’arrels). El seu significat, però, no ha estat uniforme en l'ús matemàtic. Un eminent matemàtic alemany, Carl Friedrich Gauss, a Disquisitiones Arithmeticae (1801), i alguns matemàtics actuals han utilitzat el terme per incloure temes més avançats. El lector interessat en aquest text es remet a la teoria de números de l'article.
Definicions i lleis fonamentals
Nombres naturals
En una col·lecció (o conjunt) d’objectes (o elements), l’acte de determinar el nombre d’objectes presents s’anomena recompte. Els nombres així obtinguts s’anomenen números de recompte o nombres naturals (1, 2, 3,
). Per a un conjunt buit, no hi ha cap objecte i el recompte produeix el número 0, que, unit als nombres naturals, produeix el que es coneix com a nombres sencers.
Si els objectes de dos conjunts es poden combinar de manera que cada element de cada conjunt es combina únicament amb un element de l'altre conjunt, es diu que els conjunts són iguals o equivalents. El concepte de conjunts equivalents és bàsic per als fonaments de les matemàtiques modernes i s’ha introduït a l’educació primària, sobretot com a part de la “nova matemàtica” (vegeu la figura) que ha estat aclamada i decretada alternativament des de la seva aparició a la dècada de 1960. Vegeu teoria de conjunts.
Addició i multiplicació
Combinant dos conjunts d'objectes, que contenen elements a i b, es forma un nou conjunt que conté objectes a + b = c. El nombre c s'anomena la suma de a i b; i a cadascun d’aquests últims s’anomena summand. L’operació de formar la suma s’anomena addició, el símbol + es llegeix com a “plus”. Aquesta és l'operació binària més simple, on el binari fa referència al procés de combinació de dos objectes.
A partir de la definició de comptar és evident que es pot canviar l’ordre de les convocacions i es pot canviar l’ordre de l’operació d’afegició, quan s’aplica a tres sumands, sense afectar la suma. S’anomenen respectivament llei commutativa d’addició i llei associativa d’addició, respectivament.
Si existeix un nombre natural k tal que a = b + k, es diu que a és major que b (escrit a> b) i que b és menor que a (escrit b <a). Si a i b són dos nombres naturals, és el cas que a = b o a> b o a <b (la llei de la tricotomia).
De les lleis anteriors, és evident que una suma repetida, com ara 5 + 5 + 5, és independent de la forma en què s'agrupen els sumands; es pot escriure 3 × 5. Així, es defineix una segona operació binària anomenada multiplicació. El número 5 s’anomena multiplicand; el número 3, que denota el nombre de sumands, s’anomena multiplicador; i el resultat 3 × 5 s’anomena producte. El símbol × d'aquesta operació es llegeix "vegades". Si s'utilitzen lletres com a i b per a indicar els nombres, el producte a × b sovint s'escriu a ∙ b o simplement ab.
Si s’escriuen tres files de cinc punts cadascun, tal com es mostra a continuació, és clar que el nombre total de punts de la matriu és de 3 × 5 o 15. Aquest mateix nombre de punts es pot escriure evidentment en cinc files de tres punts cadascun, d'on 5 × 3 = 15. L'argument és general, principal a la llei que l’ordre dels multiplicats no afecta el producte, anomenada llei commutativa de la multiplicació. Però és notable que aquesta llei no s'aplica a totes les entitats matemàtiques. De fet, gran part de la formulació matemàtica de la física moderna, per exemple, depèn crucialment del fet que algunes entitats no circulin.
Amb l'ús d'una matriu tridimensional de punts, es fa evident que l'ordre de multiplicació quan s'aplica a tres números no afecta el producte. Aquesta llei es diu llei associativa de la multiplicació. Si els 15 punts escrits anteriorment estan separats en dos conjunts, com es mostra, el primer conjunt consta de tres columnes de tres punts cadascun, o 3 × 3 punts; el segon conjunt consta de dues columnes de tres punts cadascun, o 2 × 3 punts; la suma (3 × 3) + (2 × 3) consta de 3 + 2 = 5 columnes de tres punts cadascun, o (3 + 2) × 3 punts. En general, es pot demostrar que la multiplicació d'una suma per un nombre és la mateixa que la suma de dos productes adequats. Aquesta llei es diu llei distributiva.
Integers
No s'ha introduït la resta per la simple raó que es pot definir com a inversa de l'addició. Així, la diferència a - b de dos nombres a i b es defineix com una solució x de l’equació b + x = a. Si un sistema de nombres està restringit als nombres naturals, no sempre existeixen diferències, però, si ho fan, es poden utilitzar les cinc lleis bàsiques de l’aritmètica, com ja s’ha comentat, per demostrar que són úniques. A més, les lleis de les operacions de suma i multiplicació es poden ampliar per aplicar-les a diferències. Els nombres sencers (inclosos zero) es poden ampliar per incloure la solució d’1 + x = 0, és a dir, el número −1, així com tots els productes del formulari −1 × n, en els quals n és un nombre sencer. La col·lecció estesa de nombres s’anomena nombres enters, dels quals els nombres enters positius són els mateixos que els nombres naturals. Els nombres que s'introdueixen de nou d'aquesta manera s'anomenen nombres enters negatius.
