Fonaments de les matemàtiques

Teoria de categories

Abstracció en matemàtiques

Una tendència recent en el desenvolupament de les matemàtiques ha estat el procés gradual d’abstracció. El matemàtic noruec Niels Henrik Abel (1802–29) va demostrar que, en general, les equacions del cinquè grau no poden ser resoltes per radicals. El matemàtic francès Évariste Galois (1811–32), motivat en part pel treball d'Abel, va introduir certs grups de permutacions per determinar les condicions necessàries perquè una equació polinòmica fos resolta. Aquests grups concrets aviat van donar lloc a grups abstractes, que van ser descrits axiomàticament. Aleshores es va adonar que per estudiar grups calia mirar la relació entre diferents grups, en particular, als homomorfismes que es corresponen d’un grup en un altre conservant les operacions del grup. Així la gent va començar a estudiar el que s'anomena la categoria concreta de grups, els objectes dels quals són grups i les fletxes dels quals són homomorfismes. No va trigar gaire a ser substituïdes categories concretes per categories abstractes, descrites de nou axiomàticament.

La noció important de categoria fou introduïda per Samuel Eilenberg i Saunders Mac Lane al final de la Segona Guerra Mundial. Cal distingir aquestes categories modernes de les categories d’Aristòtil, que s’anomenen més bé tipus en el context actual. Una categoria no només té objectes, sinó també fletxes (denominades també morfismes, transformacions o mapatges) entre ells.

Moltes categories tenen com a conjunts d'objectes dotats d'alguna estructura i fletxes, que conserven aquesta estructura. Així, existeixen les categories de conjunts (amb estructura buida) i mapatges, de grups i homomorfismes de grups, d’anells i homomorfismes d’anells, d’espais vectorials i transformacions lineals, d’espais topològics i mapatges continus, etc. Fins i tot hi ha, a un nivell encara més abstracte, la categoria de (petites) categories i functors, com s’anomenen els morfismes entre categories, que preserven relacions entre els objectes i les fletxes.

No totes les categories es poden visualitzar d'aquesta manera concreta. Per exemple, les fórmules d’un sistema deductiu es poden veure com a objectes d’una categoria les fletxes de la qual f: A → B són deduccions de B de A. De fet, aquest punt de vista és important en l’informàtica teòrica, on es pensen en fórmules. com a tipus i deduccions com a operacions.

De forma més formal, una categoria consisteix en (1) una col·lecció d'objectes A, B, C,…, (2) per a cada parell d’objectes ordenats de la col·lecció una col·lecció associada de transformacions incloent la identitat I _A ∶ A → A i (3) una llei de composició associada per a cada triple d’objectes ordenats de la categoria tal que f ∶ A → B i g ∶ B → C la composició gf (o g ○ f) és una transformació de A a C —és a dir, gf ∶ A → C. A més, cal tenir el dret associatiu i les identitats (on les composicions es defineixen) = (hg) f és a dir, h (gf) i 1 _B f = f = f1 _A.

En cert sentit, els objectes d'una categoria abstracta no tenen finestres, com les monades de Leibniz. Per inferir l’interior d’un objecte, només cal mirar totes les fletxes dels altres objectes a A. Per exemple, a la categoria de conjunts, els elements d’un conjunt A es poden representar amb les fletxes d’un element típic fixat en A.. de la mateixa manera, en la categoria de petites categories, si 1 és la categoria amb un objecte i no hi ha fletxes no identitat, els objectes d'una categoria a poden ser identificats amb els funtors 1 → a. D'altra banda, si 2 és la categoria amb dos objectes i una fletxa no identitat, les fletxes de A poden ser identificats amb els funtors 2 → A.

Estructures isomòrfiques

Una fletxa f: A → B es diu un isomorfisme si hi ha una fletxa g: B → A inversa a f, és a dir, tal que g ○ f = 1 _A i f ○ g = 1 _B. Això s’escriu A ≅ B, i A i B s’anomenen isomorfs, cosa que significa que tenen essencialment la mateixa estructura i que no cal distingir-los. En la mesura que les entitats matemàtiques són objectes de categories, només es donen a l'isomorfisme. Les seves tradicionals construccions teòriques de conjunt, a banda de servir un propòsit útil per mostrar coherència, són realment irrellevants.

Per exemple, en la construcció habitual de l’anell d’enters, un nombre enter es defineix com una classe d’equivalència de parells (m, n) de nombres naturals, on (m, n) equival a (m ′, n ′) si i només si m + n ′ = m ′ + n. La idea és que cal considerar la classe d'equivalència de (m, n) com a m - n. El que és important per a un categorista, però, és que l’anell ℤ dels nombres enters és un objecte inicial de la categoria d’anells i homomorfismes, és a dir, que per a cada anell ℝ hi ha un homomorfisme únic ℤ → ℝ. Vist d'aquesta manera, ℤ només es lliura a isomorfisme. En el mateix esperit, no s'ha de dir que ℤ es troba al camp ℚ dels nombres racionals, sinó que l'homomorfisme ℤ → ℚ és un a un. Així mateix, no té sentit parlar de la intersecció teòrica de conjunt de π i arrel quadrada de √-1, si ambdues s’expressen com a conjunts de conjunts de conjunts (ad infinitum).

Un especial interès en les fundacions i en altres llocs són els functors adjacents (F, G). Es tracta de parells de functors entre dues categories ? i ℬ, que van en direccions oposades de manera que existeix una correspondència d’un a un entre el conjunt de fletxes F (A) → B en ℬ i el conjunt de fletxes A → G (B) en ? —és a dir, de manera que els conjunts són isomorfs.