Kurt Gödel, Gödel també va escriure Goedel, (nascut el 28 d'abril de 1906 a Brünn, Àustria-Hongria [ara Brno, República Txeca] - mort el 14 de gener de 1978, Princeton, Nova York, EUA), matemàtic, austríac, lògic i filòsof que va obtenir el que podria ser el resultat matemàtic més important del segle XX: el seu famós teorema d’incompletitud, que afirma que dins de qualsevol sistema matemàtic axiomàtic hi ha proposicions que no es poden provar ni refutar sobre la base dels axiomes d’aquest sistema; així, aquest sistema no pot ser simultàniament complet i coherent. Aquesta prova va establir Gödel com un dels més importants logístics des d'Aristòtil, i les seves repercussions continuen sent-se i debatudes avui en dia.
fonaments de les matemàtiques: Gödel
Implicit al programa de Hilbert havia estat l’esperança que la noció sintàctica de provabilitat captés la noció semàntica de veritat. Gödel
Vida primerenca i carrera professional
Gödel va patir durant diversos períodes de mala salut de nen, després d'un atac als 6 anys amb febre reumàtica, cosa que li va deixar por de tenir algun problema cardíac residual. La seva preocupació per la seva vida per la seva salut pot haver contribuït a la seva eventual paranoia, que va incloure netejar obsessivament els seus estris alimentaris i preocupar-se per la puresa del seu menjar.
Com a austríac de parla alemanya, Gödel es va trobar de sobte que vivia al recentment format país de Txecoslovàquia quan es va trencar l'Imperi austrohongarès al final de la Primera Guerra Mundial el 1918. Sis anys després, però, va anar a estudiar a Àustria., a la Universitat de Viena, on es va doctorar en matemàtiques el 1929. Es va incorporar a la facultat de la Universitat de Viena l'any següent.
Durant aquell període, Viena va ser un dels eixos intel·lectuals del món. Va ser la llar del cèlebre Cercle de Viena, un grup de científics, matemàtics i filòsofs que van recolzar la visió naturalista, fortament empirista i antimetafísica coneguda com a positivisme lògic. L'assessor de divulgació de Gödel, Hans Hahn, va ser un dels líders del Cercle de Viena, i va introduir el seu estudiant estrella al grup. Tanmateix, les pròpies visions filosòfiques de Gödel no podrien haver estat més diferents de les dels positivistes. Va subscriure el platonisme, el teisme i el dualisme ment-cos. A més, també era una mica inestable mentalment i estava sotmès a paranoia, un problema que empitjorava a mesura que envelleixia. Així, el seu contacte amb els membres del Cercle de Viena li va deixar la sensació que el segle XX era hostil a les seves idees.
Teoremes de Gödel
En la seva tesi doctoral, "Über die Vollständigkeit des Logikkalküls" ("Sobre la integritat del càlcul de la lògica"), publicada en una forma lleugerament escurçada el 1930, Gödel va demostrar un dels resultats lògics més importants del segle, de fet, de tot el temps, és a dir, el teorema de completesa, que va establir que la lògica clàssica de primer ordre, o càlcul de predicat, és completa en el sentit que totes les veritats lògiques de primer ordre es poden demostrar en sistemes de prova estàndard de primer ordre.
Això, però, no va ser res comparat amb el que va publicar Gödel el 1931, és a dir, el teorema de la incompletitud: "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme" ("Sobre les proposicions formalment indecidibles de Principia Mathematica i sistemes relacionats"). Amb aproximadament, aquest teorema va establir el resultat que és impossible utilitzar el mètode axiomàtic per construir una teoria matemàtica, en qualsevol branca de les matemàtiques, que comporti totes les veritats en aquesta branca de les matemàtiques. (A Anglaterra, Alfred North Whitehead i Bertrand Russell portaven anys en aquest programa, que van publicar com a Principia Mathematica en tres volums el 1910, el 1912 i el 1913.) Per exemple, és impossible crear una teoria matemàtica axiomàtica que recull fins i tot totes les veritats sobre els nombres naturals (0, 1, 2, 3,
). Aquest va ser un resultat negatiu extremadament important, ja que abans del 1931 molts matemàtics intentaven fer-ho precisament: construir sistemes axiomes que es podrien utilitzar per demostrar totes les veritats matemàtiques. De fet, diversos coneguts logògrafs i matemàtics (per exemple, Whitehead, Russell, Gottlob Frege i David Hilbert) van dedicar part importants de la seva carrera professional en aquest projecte. Malauradament per a ells, el teorema de Gödel va destruir tot aquest programa de recerca axiomàtica.
Estelada internacional i trasllat als Estats Units
Després de la publicació del teorema d'incompletitud, Gödel es va convertir en una figura intel·lectual intel·lectual coneguda internacionalment. Va viatjar als Estats Units diverses vegades i va fer conferències àmplies a la Universitat Princeton de Nova Jersey, on va conèixer a Albert Einstein. Aquest va ser el començament d’una estreta amistat que es perllongaria fins a la mort d’Einstein el 1955.
No obstant això, va ser també durant aquest període que la salut mental de Gödel va començar a deteriorar-se. Va patir atacs de depressió i, després de l'assassinat de Moritz Schlick, un dels líders del Cercle de Viena, per un estudiant descarregat, Gödel va patir una crisi nerviosa. En els anys següents, en va patir diversos.
Després que l'Alemanya nazi es va annexionar Àustria el 12 de març de 1938, Gödel es va trobar en una situació bastant incòmoda, en part perquè tenia una llarga història d'associacions properes amb diversos membres jueus del Cercle de Viena (efectivament, havia estat atacat pels carrers de Viena de joves que pensaven que era jueu) i, en part, perquè estava sobtadament en perill de ser reclusat a l'exèrcit alemany. El 20 de setembre de 1938, Gödel es va casar amb Adele Nountky (nascuda a Porkert) i, quan va esclatar la Segona Guerra Mundial un any després, va fugir d'Europa amb la seva dona, prenent el ferrocarril transsiberià a través d'Àsia, navegant a través de l'Oceà Pacífic, i després va agafar un altre tren a través dels Estats Units cap a Princeton, NJ, on, amb l'ajuda d'Einstein, va ocupar un lloc al recentment format Institut d'Estudis Avançats (IAS). Va passar la resta de la seva vida treballant i ensenyant a l’IAS, de la qual es va retirar el 1976. Gödel es va convertir en ciutadà dels Estats Units el 1948. (Einstein va assistir a la seva audiència perquè el comportament de Gödel era més aviat imprevisible, i Einstein tenia por que Gödel pogués sabotejar la seva cas propi.)
El 1940, només uns mesos després d'arribar a Princeton, Gödel va publicar un altre treball matemàtic clàssic, "Coherència de l'axioma de l'elecció i de la hipòtesi del continu continu generalitzat amb els axiomes de la teoria de conjunts", que va demostrar que l'axioma de l'elecció i el continu la hipòtesi és coherent amb els axiomes estàndard (com els axiomes de Zermelo-Fraenkel) de la teoria de conjunts. Això va establir la meitat d'una conjectura de Gödel, és a dir, que la hipòtesi del continu no es podia demostrar veritable o falsa en les teories estàndard de conjunts. La prova de Gödel demostrava que no es podia demostrar falsa en aquestes teories. El 1963, el matemàtic nord-americà Paul Cohen va demostrar que tampoc no es podia demostrar certa en aquestes teories, reivindicant la conjectura de Gödel.
El 1949, Gödel també va fer una important contribució a la física, demostrant que la teoria de la relativitat general d’Einstein permet la possibilitat de viatjar en el temps.
