Funció zeta de Riemann, funció útil en la teoria de nombres per a investigar propietats de nombres primers. Escrit com ζ (x), originalment es va definir com la sèrie infinitaζ (x) = 1 + 2 −x + 3 −x + 4 −x + ⋯. Quan x = 1, aquesta sèrie s'anomena sèrie harmònica, que augmenta sense enquadernat, és a dir, la seva suma és infinita. Per a valors de x més grans que 1, la sèrie convergeix a un nombre finit a mesura que s’afegeixen termes successius. Si x és inferior a 1, la suma torna a ser infinita. La funció zeta va ser coneguda pel matemàtic suís Leonhard Euler el 1737, però per primera vegada va ser estudiada àmpliament pel matemàtic alemany Bernhard Riemann.
El 1859 Riemann va publicar un article on es proporcionava una fórmula explícita del nombre de primes fins a qualsevol límit preassignat, una millora decidida sobre el valor aproximat donat pel teorema de números primers. No obstant això, la fórmula de Riemann depenia de conèixer els valors amb els quals una versió generalitzada de la funció zeta és igual a zero. (La funció zeta de Riemann està definida per a tots els nombres complexos —nombres de la forma x + iy, on i = arrel quadrada de − 1 — excepte la línia x = 1.) Riemann sabia que la funció és zero per a totes les negatives parells. nombres enters −2, −4, −6,
(els anomenats zeros trivials), i que té un nombre infinit de zeros a la franja crítica de nombres complexos entre les línies x = 0 i x = 1, i també sabia que tots els zeros no privats són simètrics respecte a la crítica. línia x = 1 / 2. Riemann va conjecturar que tots els zeros no privats es troben en la línia crítica, una conjectura que posteriorment es va conèixer com a hipòtesi de Riemann.
El 1900, el matemàtic alemany David Hilbert va anomenar la hipòtesi de Riemann una de les qüestions més importants de totes les matemàtiques, tal com indica la seva inclusió a la seva influent llista de 23 problemes no resolts amb els quals va desafiar els matemàtics del segle XX. El 1915, el matemàtic anglès Godfrey Hardy va demostrar que hi ha un nombre infinit de zeros a la línia crítica i, el 1986, es va demostrar que els primers 1.500.000.001 zeros no privats van estar a la línia crítica. Tot i que la hipòtesi pot resultar ser falsa, les investigacions d’aquest problema difícil han enriquit la comprensió de nombres complexos.
