Anàlisi de tensió, branca de les matemàtiques relacionada amb relacions o lleis que continuen vigents independentment del sistema de coordenades que s'utilitzi per especificar les quantitats. Aquestes relacions s'anomenen covariants. Els tensors es van inventar com una extensió de vectors per formalitzar la manipulació d’entitats geomètriques sorgides en l’estudi de múltiples varietats matemàtiques.
Un vector és una entitat que té tant magnitud com direcció; és representable per un dibuix de fletxa i es combina amb entitats similars segons la llei del paral·lelograma. A causa d'aquesta llei, un vector té components: un conjunt diferent per a cada sistema de coordenades. Quan es canvia el sistema de coordenades, els components del vector canvien segons una llei matemàtica de transformació deductible de la llei del paral·lelograma. Aquesta llei de transformació dels components té dues propietats importants. Primer, després d’una seqüència de canvis que acaben en el sistema de coordenades original, els components del vector seran els mateixos que al principi. En segon lloc, les relacions entre els vectors (per exemple, tres vectors U, V, W de tal manera que 2U + 5V = 4W) estaran presents en els components independentment del sistema de coordenades.
Per tant, es pot considerar un vector com una entitat que, a l'espai n-dimensional, té n components que es transformen segons una llei específica de transformació que té les propietats anteriors. El vector en si és una entitat objectiva independent de les coordenades, però es tracta en termes de components amb tots els sistemes de coordenades en peu d’igualtat.
Sense insistir en una imatge pictòrica, un tensor es defineix com una entitat objectiva que té components que canvien segons una llei de transformació que és una generalització de la llei de transformació vectorial però que conserva les dues propietats clau d'aquesta llei. Per comoditat, les coordenades se solen numerar d’1 a n, i cada component d’un tensor es denota amb una lletra que té superíndexs i subíndexs, cadascun dels quals assumeix els valors 1 a n de forma independent. Així, un tensor representat pels components T ab c tindria n 3 components com a valors de a, b, i c de 1 a n. Els escalars i els vectors constitueixen casos especials de tensors, els primers només tenen un component per sistema de coordenades i els segons n. Qualsevol relació lineal entre components de l'tensor, tal as7R 1 bcd + 2S 1 bcd - 3T 1 bcd = 0, si és vàlid en un sistema de coordenades, és vàlida en tots i per tant representa una relació que és objectiva i independent de sistemes de coordenades malgrat la manca de representació pictòrica.
Dues tensions, anomenades tensor mètric i tensor de curvatura, tenen un interès particular. El tensor mètric s'utilitza, per exemple, per convertir components vectorials en magnituds de vectors. Per senzillesa, considereu el cas bidimensional amb coordenades perpendiculars simples. Sigui el vector V els components V 1, V 2. Aleshores, pel teorema de Pitàgores aplicat al triangle dret OAP, el quadrat de la magnitud de V ve donat perOP 2 = (V 1) 2 + (V 2) 2.
Està ocult en aquesta equació el tensor mètric. Està oculta perquè consisteix en 0 i 1 que no estan escrites. Si l'equació es reescriu en la formaOPOP 2 = 1 (V 1) 2 + 0V 1 V 2 + 0V 2 V 1 + 1 (V 2) 2, és evident el conjunt complet de components (1, 0, 0, 1) del tensor mètric. Si s’utilitzen coordenades obliqües, la fórmula d’OP 2 pren la forma més generalOPOP 2 = g 11 (V 1) 2 + g 12 V 1 V 2 + g 21 V 2 V 1 + g 22 (V 2) 2, les quantitats g 11, g 12, g 21, g 22 sent els nous components del tensor mètric.
A partir del tensor mètric és possible construir un tensor complicat, anomenat tensor de curvatura, que representi els diversos aspectes de la curvatura intrínseca de l’espai n-dimensional al qual pertany.
Els tensors tenen moltes aplicacions en geometria i física. Al crear la seva teoria general de la relativitat, Albert Einstein va argumentar que les lleis de la física han de ser la mateixa, independentment del sistema de coordenades que s'utilitzi. Això el va portar a expressar aquestes lleis en termes d'equacions tensores. Per la seva especial teoria de la relativitat ja se sabia que el temps i l'espai estan tan estretament interrelacionats que constitueixen un espai-temps indivisible en quatre dimensions. Einstein va postular que la gravitació s’hauria de representar només en termes del tensor mètric de l’espai-temps en quatre dimensions. Per expressar la llei relativista de la gravitació, tenia com a elements bàsics el tensor mètric i el tensor de curvatura format. Una vegada que va decidir limitar-se a aquests blocs constructius, la seva pròpia paucitat el va portar a una equació de tensió essencialment única per a la llei de la gravitació, en la qual la gravitació va aparèixer no com a força sinó com a manifestació de la curvatura de l'espai-temps.
Tot i que els tensors s’havien estudiat anteriorment, va ser l’èxit de la teoria general de la relativitat d’Einstein que va donar lloc a l’actual interès generalitzat dels matemàtics i físics en els tensors i les seves aplicacions.
