Història de l’anàlisi
Els grecs troben magnituds contínues
L’anàlisi consisteix en aquelles parts de les matemàtiques en què el canvi continuat és important. Aquests inclouen l'estudi del moviment i la geometria de les corbes i superfícies llises, en particular, el càlcul de tangents, àrees i volums. Els matemàtics grecs antics van fer grans avenços tant en la teoria com en la pràctica de l'anàlisi. El descobriment pitagòric de magnituds irracionals i aproximadament 450 a causa de les paradoxes del moviment de Zenon va ser obligat a la teoria sobre ells.
Els pitagòrics i els números irracionals
Inicialment, els pitagòrics creien que totes les coses es podien mesurar amb els discrets nombres naturals (1, 2, 3,
) i les seves proporcions (fraccions ordinàries o els nombres racionals). Tanmateix, aquesta creença va ser sacsejada pel descobriment que la diagonal d’un quadrat d’unitat (és a dir, un quadrat els costats dels quals tenen una longitud d’1) no es pot expressar com un nombre racional. Aquest descobriment va ser provocat pel seu propi teorema de Pitàgores, que va establir que el quadrat de la hipotenusa d'un triangle dret és igual a la suma dels quadrats dels altres dos costats, en notació moderna, c 2 = a 2 + b 2. En un quadrat d’unitat, la diagonal és la hipotenusa d’un triangle dret, amb els costats a = b = 1; per tant, la seva mesura és l’arrel quadrada de Ö2 —un nombre irracional. En contra de les seves pròpies intencions, els pitagòrics havien demostrat així que els nombres racionals no eren suficients per mesurar ni tan sols objectes geomètrics simples. (Vegeu Barra lateral: Incommensurables.) La seva reacció va ser crear una aritmètica de segments de línies, tal com es troba al Llibre II dels Elements d'Euclides (c. 300 aC), que incloïa una interpretació geomètrica de nombres racionals. Per als grecs, els segments de línies eren més generals que els nombres, perquè incloïen magnituds continuades i discretes.
De fet, l'arrel quadrada de Ö2 es pot relacionar amb els nombres racionals només mitjançant un procés infinit. Euclides, que va estudiar l'aritmètica de nombres racionals i segments de línia. El seu famós algorisme euclidià, quan s'aplica a un parell de nombres naturals, condueix en un nombre finit de passos al seu màxim divisor comú. Tanmateix, quan s’aplica a un parell de segments de línia amb una relació irracional, com ara l’arrel quadrada de Ö2 i 1, no s’acaba. Euclides fins i tot va utilitzar aquesta propietat de no-terminació com a criteri per a la irracionalitat. Així, la irracionalitat va desafiar el concepte grec de nombre obligant-los a abordar processos infinits.
Les paradoxes de Zenó i el concepte de moviment
De la mateixa manera que l’arrel quadrada de Ö2 era un desafiament per al concepte de nombre dels grecs, les paradoxes de Zenó eren un desafiament per al seu concepte de moviment. En la seva Física (c. 350 aC), Aristòtil va citar a Zeno que deia:
No hi ha cap moviment perquè el que es mogui ha d’arribar al mig [del curs] abans que arribi al final.
Els arguments de Zeno només es coneixen a través d’Aristòtil, que els va citar principalment per refutar-los. Probablement, Zeno va significar que, per arribar a qualsevol lloc, primer s’ha d’anar a la meitat del camí i abans d’aquella quarta part del camí i abans d’aquest vuitè del camí i així successivament. Com que aquest procés de reduir a la meitat de les distàncies continuaria fins a l’infinit (concepte que els grecs no acceptarien el possible), Zeno va afirmar “demostrar” que la realitat consisteix en un ésser immutable. Tot i això, malgrat el seu desgast infinit, els grecs van trobar que el concepte era imprescindible en la matemàtica de les magnituds contínues. Així doncs, van raonar sobre l’infinit el més finament possible, en un marc lògic anomenat teoria de les proporcions i utilitzant el mètode d’esgotament.
La teoria de les proporcions va ser creada per Eudoxus sobre 350 aC i conservada al llibre V dels elements d'Euclides. Va establir una relació exacta entre les magnituds racionals i les magnituds arbitràries, en definir dues magnituds iguals si les magnituds racionals inferiors a elles eren iguals. En altres paraules, dues magnituds eren diferents només si hi havia una magnitud racional estrictament entre elles. Aquesta definició va servir als matemàtics durant dos mil·lennis i va obrir el camí per a l'aritmetització de l'anàlisi al segle XIX, en què els nombres arbitraris es van definir rigorosament en termes dels nombres racionals. La teoria de les proporcions va ser el primer tractament rigorós del concepte de límits, una idea que es troba al nucli de l’anàlisi moderna. En termes moderns, la teoria d'Eudoxus definia les magnituds arbitràries com a límits de magnituds racionals, i els teoremes bàsics sobre la suma, la diferència i el producte de magnituds eren equivalents als teoremes sobre la suma, la diferència i el producte dels límits.
