Lògica formal

Quadres semàntics

Des de la dècada dels vuitanta, una altra tècnica per determinar la validesa dels arguments en un PC o LPC ha guanyat certa popularitat, tant per la seva facilitat d'aprenentatge com per la seva aplicació senzilla per part de programes informàtics. Originalment suggerit pel lògic holandès Evert W. Beth, va ser més desenvolupat i donat a conèixer pel matemàtic i lògic nord-americà Raymond M. Smullyan. Basant-se en l’observació que és impossible que les premisses d’un argument vàlid siguin certes mentre que la conclusió sigui falsa, aquest mètode intenta interpretar (o avaluar) les premisses de tal manera que es satisfan totes alhora i la negació de la la conclusió també està satisfeta. L’èxit en un esforç d’aquest tipus demostraria que l’argument no és vàlid, mentre que el fet de no trobar una interpretació així ho demostraria vàlid.

La construcció d’un tableau semàntic procedeix de la manera següent: expressar les premisses i la negació de la conclusió d’un argument a PC utilitzant només la negació (∼) i la disjunció (∨) com a connectius proposicionals. Elimineu cada aparició de dos signes de negació en una seqüència (per exemple, ∼∼∼∼∼a es converteix en ∼a). Ara construïu un diagrama d’arbre que es ramifica cap avall de manera que cada disjunció es substitueixi per dues branques, una per la disjuntiva esquerra i una altra per la dreta. La disjunció original és certa si qualsevol de les branques és certa. La referència a les lleis de De Morgan demostra que la negació d’una disjunció és certa només en cas que les negacions d’ambdues disjuntives siguin certes (és a dir, ∼ (p ∨ q) ≡ (∼p · ∼q)]. Aquesta observació semàntica condueix a la regla que la negació d'una disjunció es converteix en una branca que conté la negació de cada disjuntiva:

Penseu en el següent argument:

Escriure:

Ara elimina la disjunció i forma dues branques:

Només si totes les frases d’almenys una branca són certes, és possible que les premisses originals siguin certes i la conclusió falsa (equivalentment per a la negació de la conclusió). Traçant la línia cap amunt de cada branca fins a la part superior de l'arbre, s'observa que cap valoració de a la branca esquerra donarà lloc a que totes les frases d'aquesta branca rebin el valor veritable (per la presència de a i ∼a).. De la mateixa manera, a la branca dreta la presència de b i ∼b fa impossible que una valoració tingui com a resultat que totes les frases de la branca rebin el valor cert. Aquestes són totes les branques possibles; així, és impossible trobar una situació en què les premisses siguin certes i que la conclusió sigui falsa. Per tant, l'argument original és vàlid.

Aquesta tècnica es pot estendre a altres connectius:

A més, a LPC cal introduir regles per instanciar wffs quantificats. És evident que qualsevol branca que conté amb (∀x) ϕx i ∼ϕy és aquella en la qual no totes les oracions d’aquesta branca poden satisfer-se simultàniament (sota l’assumpció de consistència ω; vegeu metal·lògiques). De nou, si totes les branques no són satisfactòries, l’argument original és vàlid.

Sistemes especials de LPC

Es pot modificar el LPC tal com s'ha exposat anteriorment, restringint o ampliant la gamma de wffs de diverses maneres:

1. Sistemes parcials de LPC. A continuació s’exposen alguns dels sistemes més importants produïts per restricció:
- a. Pot ser que es requereixi que cada variable de predicat sigui monàdica, alhora que permeten un nombre infinit de variables individuals i predicades. Les wffs atòmiques són simplement aquelles que consisteixen en una variable de predicat seguida d’una única variable individual. Altrament, les regles de formació segueixen sent com abans, i la definició de validesa també és com abans, encara que simplificat de manera evident. Aquest sistema es coneix com el LPC monàdic; proporciona una lògica de propietats, però no de relacions. Una característica important d’aquest sistema és que es pot determinar. (La introducció d'una mateixa variable de predicat díadic, però, faria indecisible el sistema i, de fet, fins i tot s'ha demostrat que el sistema que conté només una única variable de predicat díada i cap altra variable de predicat és indecidible.)
- b Es pot formar un sistema encara més senzill requerint (1) que cada variable predicat sigui monàdica, (2) que només s’utilitzi una sola variable individual (per exemple, x), (3) que cada ocurrència d’aquesta variable sigui lligada i (4) que no es produeix cap quantificador dins de l’àmbit d’altre. Uns exemples de wffs d’aquest sistema són (∀x) [ϕx ⊃ (ψx · χx)] (“Tot el que sigui ϕ és a la vegada ψ i χ”); (∃x) (ϕx · ∼ψx) ("Hi ha alguna cosa que és ϕ però no ψ"); i (∀x) (ϕx ⊃ ψx) ⊃ (∃x) (ϕx · ψx) ("Si el que és ϕ és ψ, llavors alguna cosa és ϕ i ψ"). La notació d’aquest sistema es pot simplificar omitent x arreu i escrivint ∃ϕ per a “Alguna cosa és ϕ”, ∀ (ϕ ⊃ ψ) per a “Tot el que sigui is és ψ,”, etc. Tot i que aquest sistema és més rudimentari fins i tot que el LPC monàdic (del qual és un fragment), es poden representar les formes d’una àmplia gamma d’inferències. També és un sistema decidible i es poden donar procediments de decisió de tipus elemental.
2.Extensions de LPC. S'han construït sistemes més elaborats, en els quals es pot expressar un ventall més ampli de proposicions, afegint a LPC nous símbols de diversos tipus. Les més senzilles d'aquestes addicions són:
- a.Una o més constants individuals (per exemple, a, b,
  
  ): aquestes constants s’interpreten com a noms d’individus específics; formalment es distingeixen de variables individuals pel fet que no poden aparèixer en quantificadors; per exemple, (∀x) és un quantificador, però (∀a) no ho és.
- b.Una o més constants predicades (per exemple, A, B,
  
  ), cadascun d’algun grau especificat, es va concebre com a propietats o relacions específiques.

Una addició més possible, que requereix una explicació una mica més completa, consisteix en símbols dissenyats per a les funcions. La noció de funció pot ser suficientment explicada per als propòsits actuals de la manera següent. Es diu que hi ha una certa funció de n arguments (o, de grau n) quan hi ha una regla que especifica un objecte únic (anomenat valor de la funció) sempre que s’especifiquin tots els arguments. En el domini dels éssers humans, per exemple, “la mare de -” és una funció monàdica (funció d’un argument), ja que per a cada ésser humà hi ha un individu únic que és la seva mare; i al domini dels nombres naturals (és a dir, 0, 1, 2,

), "La suma de - i -" és una funció de dos arguments, ja que per a qualsevol parell de nombres naturals hi ha un nombre natural que és la seva suma. Es pot pensar en un símbol de funció que forma un nom d'altres noms (els seus arguments); així, sempre que x i y nomen nombres, "la suma de x i y" també nomena un nombre, i de manera similar per a altres tipus de funcions i arguments.

Per permetre que les funcions s’expressin en LPC, s’hi pot afegir:

c.Una o més variables de funció (per exemple, f, g,

) o una o més constants de funció (per exemple, F, G,

) o tots dos, cadascun d’algun grau especificat. Les primeres s'interpreten com a funcions dels graus especificats i les segones com a designacions de funcions específiques d'aquest grau.

Si s’afegeix qualsevol o tots els a-c a LPC, cal modificar les regles de formació que figuren al primer paràgraf de la secció del càlcul de predicat inferior (vegeu més amunt El càlcul de predicat inferior) per permetre incorporar els nous símbols a wffs. Es pot fer de la manera següent: Un terme es defineix primer com (1) una variable individual o (2) una constant individual o (3) qualsevol expressió formada prefixant una variable de funció o una constant de funció de grau n a qualsevol n termes (aquests termes, els arguments del símbol de la funció, se solen separar per comes i incloure-los entre parèntesis). La regla de formació 1 es substitueix per:

1 '. Una expressió formada per una variable de predicat o una constant de predicat de grau n seguida de n termes és wff.

La base axiomàtica que es dóna a la secció sobre l’axiomatització de LPC (vegeu més amunt Axiomatització de LPC) també requereix la següent modificació: a l’esquema d’axioma 2 es permet substituir qualsevol terme per quan es formi β, sempre que no hi hagi cap variable lliure en la el terme es vincula en β. Els exemples següents il·lustraran l’ús de les addicions esmentades a LPC: deixem que els valors de les variables individuals siguin els nombres naturals; deixem que les constants individuals a i b siguin les xifres 2 i 3, respectivament; Deixeu A voler dir “és primordial”; i deixem F representar la funció diàdica “la suma de”. A continuació, AF (a, b) expressa la proposició "La suma de 2 i 3 és primera", i (∃x) AF (x, a) expressa la proposició "Hi ha un nombre tal que la suma d'ella i 2 sigui primera."

La introducció de constants s’acompanya normalment a l’afegit a la base axiomàtica d’axiomes especials que contenen aquestes constants, dissenyats per expressar principis que contenen els objectes, propietats, relacions o funcions representades per elles, encara que no posseeixen objectes, propietats., relacions o funcions en general. Es pot decidir, per exemple, utilitzar la constant A per representar la relació diàdica "és més gran que" (de manera que Axy vol dir "x és més gran que y" i així successivament). Aquesta relació, a diferència de moltes altres, és transitiva; és a dir, si un objecte és superior a un segon i aquest segon és al seu torn més gran que un terç, el primer és més gran que el tercer. Per tant, es podria afegir el següent esquema d’axioma especial: si t ₁, t ₂ i t ₃ són termes, llavors (A ₁ t ₂ · A ₂ t ₃) ⊃ A ₁ t ₃ és un axioma. Per aquests mitjans es poden crear sistemes que expressin les estructures lògiques de diverses disciplines particulars. L’àrea en què s’ha treballat més d’aquest tipus és la de l’aritmètica de nombre natural.

De vegades, PC i LPC es combinen en un sol sistema. Això es pot fer simplement afegint variables proposicionals a la llista de primitius LPC, afegint una regla de formació a l'efecte que una variable proposicional que està sola és un wff i suprimint "LPC" en l'esquema axioma 1. Això produeix com a expressions com wffs. com (p ∨ q) ⊃ (∀x) ϕx i (∃x) [p ⊃ (∀y) ϕxy].

3.LPC-amb identitat. La paraula "és" no s'utilitza sempre de la mateixa manera. En una proposició, com ara (1) "Sòcrates té els ulls grossos", l'expressió que precedeix el "és" nomena un individu i l'expressió que el segueix significa una propietat atribuïda a aquest individu. Però, en una proposició com (2) "Sòcrates és el filòsof atenenc que va beure cicuta", les expressions anteriors i posteriors al "és" són ambdós noms d'individus, i el sentit de tota la proposició és que l'individu anomenat pel primer és el mateix individu que l’individu anomenat pel segon. Així, en 2 es pot ampliar a "és" el mateix ", mentre que en 1 no es pot. Com s'utilitza en el número 2, "és" significa una relació dídica (és a dir, identitat) que la proposició afirma mantenir entre els dos individus. S’ha d’entendre en aquest context una proposició d’identitat que no afirma més que això; en particular, no s'ha de considerar com a afirmació que les dues expressions de denominació tenen el mateix significat. Un exemple molt discutit per il·lustrar aquest últim punt és “L’estrella del matí és l’estrella del vespre”. És fals que les expressions "l'estrella del matí" i "l'estrella del vespre" signifiquin les mateixes, però és cert que l'objecte a què fa referència el primer és el mateix que el referit (el planeta Venus).

Per permetre que les expressions de proposicions identitàries s’expressin, s’afegeix una constant de predicat díadic a LPC, per la qual la notació més usual és = (escrita entre els seus arguments més que abans). La interpretació prevista de x = y és que x és el mateix individu que y, i la lectura més convenient és "x és idèntica a y". La seva negació ∼ (x = y) és generalment abreujada com x ≠ y. A la definició d’un model LPC donat anteriorment (vegeu més amunt Validesa en LPC) ara s’afegeix la regla (que s’acorda d’una manera òbvia amb la interpretació prevista) que el valor de x = y ha de ser 1 si el mateix membre de D s'assigna a x i y i, d'altra banda, el seu valor serà 0; la validesa es pot definir com abans. A les bases axiomàtiques de LPC es fan les addicions següents (o algunes equivalents): l’axioma x = x i l’esquema de l’axioma que, on a i b són variables individuals i α i β són wffs que difereixen només en això, a un o més llocs on α té una ocurrència lliure de a, β té una ocurrència lliure de b, (a = b) ⊃ (α ⊃ β) és un axioma. Aquest sistema es coneix com a càlcul inferior de predicat-amb-identitat; per descomptat, pot augmentar-se de la resta de maneres esmentades anteriorment a "Extensions de LPC", en aquest cas qualsevol terme pot ser un argument de.

La identitat és una relació d'equivalència; és a dir, reflexiu, simètric i transitiu. La seva reflexivitat s’expressa directament en l’axioma x = x, i els teoremes que expressen la seva simetria i transitivitat es poden derivar fàcilment de la base donada.

Alguns wffs de proposicions expresses amb identitat LPC sobre el nombre de coses que posseeixen una propietat determinada. "Almenys una cosa és ϕ", és clar, ja podria ser expressada per (∃x) ϕx; "Almenys dues coses diferents (no identiques) són ϕ" ara es pot expressar amb (∃x) (∃y) (ϕx · ϕy · x ≠ y); i la seqüència es pot continuar d’una manera òbvia. "Com a molt una cosa és ϕ" (és a dir, "No hi ha dues coses diferents both") es pot expressar per la negació de l'última wff o pel seu equivalent, (∀x) (∀y) [(ϕx ·)y) ⊃ x = y], i la seqüència es pot continuar fàcilment. Una fórmula per a "Exactament una cosa és ϕ" es pot obtenir combinant les fórmules per a "Almenys una cosa és ϕ" i "Com a molt una cosa és ϕ", però un wff més simple equivalent a aquesta conjunció és (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)], que significa "Hi ha alguna cosa que és ϕ, i qualsevol cosa que sigui ϕ és aquesta cosa." La proposició "Exactament dues coses són ϕ" es pot representar amb (∃x) (∃y) {ϕx · ϕy · x ≠ y · (∀z) [ϕz ⊃ (z = x ∨ z = y)]}; és a dir, "Hi ha dues coses no identificades cadascuna de les quals és ϕ, i qualsevol cosa que sigui ϕ és una o l'altra d'aquestes." Per descomptat, aquesta seqüència també es pot estendre per donar una fórmula per a “Exactament n coses són ϕ” per a cada nombre natural n. És convenient abreujar el wff per "Exactament una cosa és ϕ" a (∃! X) ϕx. Aquest quantificador especial se sol llegir en veu alta com "E-Shriek x".

Descripcions definitives

Quan una determinada propietat ϕ pertany a un únic objecte, és convenient tenir una expressió que nomeni aquest objecte. Una notació comuna per a aquest propòsit és (ιx) ϕx, que es pot llegir com "el que és ϕ" o més breument com "el the". En general, on a és qualsevol variable individual i α és qualsevol wff, (ιa) α significa llavors el valor únic d'a que fa α veritable. Una expressió de la forma "allò i tant" s'anomena descripció definitiva; i (ιx), conegut com a operador de descripció, es pot pensar que forma un nom d’un individu fora d’un formulari de proposició. (ιx) és anàloga a un quantificador, ja que, quan es prefix a un wff α, s'uneix cada ocurrència lliure de x en α. També es pot permetre la neteja de variables enllaçades; en el cas més senzill, (ιx) ϕx i (ιy) ϕy es poden llegir només com "el ϕ".

Pel que fa a regles de formació, es poden incorporar descripcions definitives a LPC deixant que les expressions del formulari (ιa) α es comptin com a termes; la regla 1 ′ anterior, a “Extensions de LPC”, els permetrà que es produeixin en fórmules atòmiques (incloses fórmules d’identitat). "La ϕ és (és a dir, té la propietat) ψ" llavors es pot expressar com ψ (ιx) ϕx; "Y és (el mateix individu que) la ϕ" que y = (ιx) ϕx; "La ϕ és (el mateix individu que) la ψ" que (ιx) ϕx = (ιy) ψy; i així successivament.

L’anàlisi correcta de proposicions que contenen descripcions definides ha estat objecte d’una considerable controvèrsia filosòfica. Tanmateix, un compte àmpliament acceptat –substancialment el presentat a Principia Mathematica i conegut com a teoria de les descripcions de Russell– afirma que “El ϕ és ψ” s’ha d’entendre que significa que exactament una cosa és ϕ i que també ho és ψ. En aquest cas, es pot expressar amb una wff de LPC amb identitat que no conté operadors de descripció, és a dir, (1) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Anàlogament, “y es la ϕ” s’analitza com a “y es ϕ y nada más es ϕ” i, per tant, tan expressable per (2) ϕy · (∀x) (ϕx ⊃ x = y). "La ϕ és la ψ" s'analitza com "Exactament una cosa és ϕ, exactament una cosa és ψ, i qualsevol cosa que sigui ϕ és ψ" i per tant tan expressable per (3) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)] · (∃x) [ψx · (∀y) (ψy ⊃ x = y)] · (∀x) (ϕx ⊃ ψx). ψ (ιx) ϕx, y = (ιx) ϕx i (ιx) ϕx = (ιy) ψy es poden considerar, doncs, com a sigles de (1), (2) i (3), respectivament; i generalitzant casos més complexos, tots els wffs que contenen operadors de descripció es poden considerar com a abreviatures per a wffs més llargs que no.

L'anàlisi que condueix a (1) com a fórmula de "La ϕ és ψ" condueix a la següent para "La ϕ no és ψ": (4) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ∼ψx]. És important tenir en compte que (4) no és la negació de (1); aquesta negació és, en canvi, (5) ∼ (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. La diferència de significat entre (4) i (5) rau en el fet que (4) és cert només quan hi ha exactament una cosa que és ϕ i que no és ψ, però (5) és cert tant en aquest cas com en també quan res no és ϕ i quan hi ha més d’una cosa ϕ. L’abandonament de la distinció entre (4) i (5) pot donar lloc a una greu confusió de pensament; En un discurs ordinari, sovint no està clar si algú que nega que ϕ és ψ concedeix que és exactament una cosa ϕ, però nega que és ψ, o nega exactament una cosa ϕ.

La afirmació bàsica de la teoria de les descripcions de Russell és que una proposició que conté una descripció definitiva no s'ha de considerar com una afirmació sobre un objecte del qual aquesta descripció és un nom, sinó com una afirmació quantificada existencialment que una determinada propietat (més aviat complexa) té una instància Formalment, això es reflecteix en les regles per eliminar els operadors de descripció que es van exposar anteriorment.