János Bolyai, (nascut el 15 de desembre de 1802, Kolozsvár, Hongria [actualment Cluj, Romania] - va augmentar el 27 de gener de 1860, Marosvásárhely, Hongria [ara Târgu Mureş, Romania]), matemàtic hongarès i un dels fundadors de la geometria no euclidiana - una geometria que difereix de la geometria euclidiana en la seva definició de línies paral·leles. El descobriment d’una geometria alternativa consistent que podria correspondre a l’estructura de l’univers va ajudar a alliberar els matemàtics per estudiar conceptes abstractes independentment de qualsevol possible connexió amb el món físic.
Als 13 anys, Bolyai havia dominat el càlcul i la mecànica analítica sota la tutela del seu pare, el matemàtic Farkas Bolyai. També es va convertir en un violinista acomplexat a una edat primerenca i més tard va ser reconegut com un excel·lent espadachín. Va estudiar al Royal Engineering College de Viena (1818–22) i va exercir el cos d’enginyeria de l’exèrcit (1822–33).
La preocupació de l’ancià Bolyai per demostrar l’axioma paral·lel d’Euclides infectava al seu fill i, malgrat les advertències del seu pare, János va persistir en la seva pròpia cerca d’una solució. A principis dels anys 1820 va concloure que probablement era impossible la prova i va començar a desenvolupar una geometria que no depenia de l’axioma d’Euclides. El 1831 va publicar "Appendix Scientiam Spatii Absolute Veram Exhibens" ("Apèndix explicant la absoluta veritable ciència de l'espai"), un sistema complet i consistent de geometria no euclidiana com a apèndix del llibre de geometria del seu pare, Tentamen Juventutem Studiosam a Elementa Matheseos Purae Introducendi (1832; “Un intent d’introduir els joves estudiosos als elements de les matemàtiques pures”).
Una còpia d’aquest treball es va enviar a Carl Friedrich Gauss a Alemanya, que va respondre que havia descobert els resultats principals uns anys abans. Aquest va ser un cop profund per a Bolyai, tot i que Gauss no tenia cap pretensió de prioritat ja que mai no havia publicat les seves troballes. L’assaig de Bolyai va passar desapercebut per altres matemàtics. El 1848 va descobrir que Nikolay Ivanovich Lobachevsky havia publicat un relat de pràcticament la mateixa geometria el 1829.
Tot i que Bolyai va continuar els seus estudis matemàtics, la importància del seu treball no es va reconèixer durant la seva vida. A més de treballar en la seva geometria no euclidiana, va desenvolupar un concepte geomètric de nombres complexos com a parells ordenats de nombres reals.
