El problema de Sturm-Liouville, o problema de valor propi, en matemàtiques, una determinada classe d'equacions diferencials parcials (PDEs) subjectes a restriccions addicionals, conegudes com a valors de frontera, a les solucions. Aquestes equacions són habituals tant en la física clàssica (per exemple, conducció tèrmica) com en la mecànica quàntica (per exemple, l’equació de Schrödinger) per descriure processos on es manté constant algun valor extern (valor límit) mentre que el sistema d’interès transmet alguna forma d’energia.
A mitjans dels anys 1830, els matemàtics francesos Charles-François Sturm i Joseph Liouville van treballar de manera independent el problema de la conducció de calor mitjançant una barra metàl·lica, en el procés desenvolupant tècniques per resoldre una gran classe de PDE, la més simple de les quals pren la forma [p (x) y ′] ′ + [q (x) - λr (x)] y = 0 on y és alguna quantitat física (o la funció d’ona mecànica quàntica) i λ és un paràmetre, o valor propi, que limita l’equació de manera que que y satisfà els valors del límit als extrems de l'interval sobre el qual varia la variable x. Si les funcions p, q i r compleixen condicions adequades, l’equació tindrà una família de solucions, anomenades funcions propies, corresponents a les solucions de valor propi.
Per al cas no homogeni més complicat en què la part dreta de l'equació és una funció, f (x), en lloc de zero, es poden comparar els valors propis de l'equació homogènia corresponent amb els valors propis de l'equació original. Si aquests valors són diferents, el problema tindrà una solució única. D'altra banda, si un d'aquests valors propis coincideix, el problema no tindrà cap solució o tota una família de solucions, segons les propietats de la funció f (x).
