La hipòtesi de Riemann, en teoria de nombres, és una hipòtesi del matemàtic alemany Bernhard Riemann sobre la ubicació de solucions a la funció zeta de Riemann, que està connectada al teorema de números primers i té implicacions importants per a la distribució de nombres primers. Riemann va incloure la hipòtesi en un article, "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ("Sobre el nombre de números primers menys d'una quantitat determinada"), publicat a l'edició de novembre de 1859 de Monatsberichte der Berliner Akademie ("Revisió mensual de l'Acadèmia de Berlín ”).
La funció zeta es defineix com la sèrie infinita ζ (s) = 1 + 2 −s + 3 −s + 4 −s + ⋯, o, en notació més compacta, , on la suma (Σ) de termes de n va de 1 a infinit a través dels nombres enters positius i s és un nombre enter positiu superior a 1. La funció zeta va ser estudiada per primer cop pel matemàtic suís Leonhard Euler al segle XVIII. (Per aquesta raó, de vegades s'anomena funció Euler zeta. Per a ζ (1), aquesta sèrie és simplement la sèrie harmònica, coneguda des de l'antiguitat per augmentar sense lligar; és a dir, la seva suma és infinita.) Euler va aconseguir la fama instantània quan demostrat en 1735 que ζ (2) = π 2 /6, un problema que havia eludit als més grans matemàtics de l'època, incloent la família suïssa Bernoulli (Jakob, Johann, i Daniel). Més generalment, Euler va descobrir (1739) una relació entre el valor de la funció zeta per a nombres enters i els nombres de Bernoulli, que són els coeficients en l'expansió de x / (e x - 1) de la sèrie Taylor. (Vegeu també funció exponencial). Encara més sorprenent, el 1737 Euler va descobrir una fórmula relacionada amb la funció zeta, que consisteix en sumar una seqüència infinita de termes que contenen els nombres enters positius i un producte infinit que implica tots els números primers:
Riemann va ampliar l'estudi de la funció zeta per incloure els nombres complexos x + iy, on i = arrel quadrada de − 1, tret de la recta x = 1 en el pla complex. Riemann sabia que la funció zeta és zero per a tots els nombres enters negatius −2, −4, −6,
(els anomenats zeros trivials) i que té un nombre infinit de zeros a la franja crítica de nombres complexos que es troben estrictament entre les línies x = 0 i x = 1. També sabia que tots els zeros no privats són simètrics respecte a la línia crítica x = 1 / 2. Riemann va conjecturar que tots els zeros no privats es troben en la línia crítica, una conjectura que posteriorment es va conèixer com a hipòtesi de Riemann.
El 1914 Anglès el matemàtic Godfrey Harold Hardy va demostrar que un nombre infinit de solucions de ζ (s) = 0 existeix en la línia crítica x = 1 / 2. Posteriorment, diversos matemàtics van demostrar que una gran part de les solucions han de romandre en la línia crítica, tot i que les freqüents “proves” que hi ha totes les solucions no privades han estat defectuoses. Els ordinadors també s'han utilitzat per provar solucions, amb els primers 10 bilions de solucions no privades que es troben en la línia crítica.
Una prova de la hipòtesi de Riemann tindrà conseqüències àmplies per a la teoria de nombres i per a l'ús de les primeres en criptografia.
La hipòtesi de Riemann ha estat considerada des de fa temps el major problema no resolt en matemàtiques. Va ser un dels deu problemes matemàtics no resolts (23 a l’adreça impresa) presentat com a repte per als matemàtics del segle XX pel matemàtic alemany David Hilbert al Segon Congrés Internacional de Matemàtiques a París el 8 d’agost de 1900. El 2000 el matemàtic nord-americà Stephen Smale va actualitzar la idea de Hilbert amb una llista de problemes importants per al segle XXI; la hipòtesi de Riemann era el número u. El 2000 va ser designat un problema del mil·lenni, un dels set problemes matemàtics seleccionats pel Clay Mathematics Institute de Cambridge, Massachusetts, EUA, per a un premi especial. La solució per a cada problema del Mil·lenni val un milió de dòlars. El 2008, l'Agència de Projectes de Recerca Avançada de Defensa dels Estats Units (DARPA) la va catalogar com un dels desafiaments matemàtics de DARPA, 23 problemes matemàtics per als quals sol·licitava propostes de recerca per al finançament. El Sant Grial de la teoria de nombres."
